Teorema Pythagoras

 

Apa itu Teorema Pythagoras?

Dikutip dari Britannica.com, Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema pada segitiga siku-siku yang fenomenal dan cukup terkenal. ( sekitar 570-500 SM atau 490 SM ) Teorema ini telah lama dikaitkan dengan ahli matematika sekaligus filsuf Yunani yang bernama Pythagoras.

Namun berdasarkan beberapa penemuan peninggalan kuno, teorema pythagoras sebenarnya jauh lebih tua. Contohnya pada penemuan empat tablet babilonia yang berisi tripel pythagoras dan diperkirakan ada pada sekitar tahun 1900-1600 SM. Untuk kelanjutan sejarahnya baca : Sejarah Teorema Pythagoras (by Britannica.com).

Supaya tidak panjang lebar mari kita langsung cari tahu konsep dari Teorema Pythagoras. Kita akan membahasnya dalam dua sudut pandang, yaitu secara geometri dan secara analitik.

Secara Geometri

Jika kita punya segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di titik A dan pada masing-masing sisinya dibuat persegi ke arah luar. Maka luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA.

Berikut ilustrasinya :

Secara Analitik

Dari sudut pandang geometri di atas, dapat kita misalkan panjang sisi AB, CA dan BC berturut-turut sebesar $a,b$ dan $c$. Sehingga kita punya :

• Luas persegi pada sisi $\text{AB}$ adalah $\text{AB}^{2}=a^{2}$
• Luas persegi pada sisi $\text{CA}$ adalah $\text{CA}^{2}=b^{2}$
• Dan luas persegi pada sisi $\text{BC}$ adalah $\text{BC}^{2}=c^{2}$

Nah, sekarang pernyataan “jumlah luas persegi pada sisi BC sama dengan jumlah luas persegi pada sisi AB dan CA” dapat kita tuliskan :

$\text{AB}^{2}+\text{CA}^{2}=\text{BC}^{2}$

atau

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Lalu apakah persamaan Teorema Pythagoras tersebut bernilai benar? Mari kita buktikan bersama.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Misalkan kita punya segitiga siku-siku sebagai berikut :

Kita akan membuktikan bahwa $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Step by Step :

Pertama kita duplikat segitiga siku-siku tersebut dan kita susun menjadi :

Dari gambar di atas, kita punya :

• 4 buah segitiga siku-siku dengan luas totalnya adalah$\begin{aligned}\text{Luas}&=4\times \text{Luas Segitiga}\\&=4\times \frac{a\times b}{2}\\&=2ab\end{aligned}$
• 1 buah persegi kecil (warna cokelat) dengan sisi $c$ dan luasnya adalah$\text{Luas}=c\times c=c^{2}$
• 1 buah persegi besar dengan panjang sisi $a+b$ dan luasnya adalah$\begin{aligned}\text{Luas} &= (a+b)(a+b)\\&=a^{2}+2ab+b^{2}\end{aligned}$

Selain itu, pada gambar kita tahu bahwa luas persegi besar setara dengan jumlah luas persegi kecil dan 4 buah segitiga siku-siku. Sehingga dapat kita tuliskan :

$\begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}&=c^{2}+2ab\\a^{2}+b^{2}&=c^{2}\end{aligned}$

Dan kita telah selasai membuktikannya. Berikut adalah pembuktian versi Animasi. Animasi sudah disusun sedemikian rupa supaya lebih mudah dipahami.

Bukti dengan Animasi

Video animasi berikut adalah pembuktian secara geometri dan aljabar :